Matemático partilha soluções para 10 desafios de lógica festivos.

Inês Margarida Carvalho • April 14, 2026 20:16

Aqui ficam as respostas ao quiz de matemática festivo lançado a 23 de Dezembro - espero que se tenha divertido a resolvê-lo.

Além do lado “natalício”, estes desafios têm um mérito muito concreto: obrigam-nos a alternar entre contagem de possibilidades, argumentos lógicos e ideias de invariância (quantidades que não mudam, mesmo quando tudo parece estar a baralhar-se). É exactamente esse tipo de flexibilidade mental que a matemática treina.

Quebra-cabeça 1: nove moedas de ouro e uma falsa

Enunciado: Tem nove moedas de ouro indistinguíveis à vista. Sabe que uma é falsa e que pesa menos do que as restantes. Com uma balança de dois pratos (daquelas “antigas”), qual é o número mínimo de pesagens necessárias para descobrir qual é a moeda falsa?

### Solução É possível resolver com apenas duas pesagens:

1) Separe as nove moedas em três grupos de três. Compare dois grupos na balança.
- Se um dos grupos ficar mais leve, a moeda falsa está nesse grupo de três.
- Se derem equilíbrio, então a moeda falsa está no grupo de três que não foi pesado.

2) Pegue no grupo que contém a falsa e pese duas moedas uma contra a outra.
- Se uma ficar mais leve, essa é a falsa.
- Se empatarem, então a falsa é a terceira moeda (a que ficou fora da pesagem).

Quebra-cabeça 2: duas ampulhetas (4 e 7 minutos) para marcar 10 minutos

Enunciado: Foi “transportado no tempo” para ajudar a preparar o jantar de Natal. Precisa de cozer uma tarte, mas só tem duas ampulhetas: uma mede exactamente 4 minutos e a outra exactamente 7 minutos. Como pode medir 10 minutos com precisão?

### Solução Há várias formas de o fazer, mas se a ideia for deixar a tarte no forno o mais cedo possível, uma sequência eficaz é:

Coloque as duas ampulhetas a correr ao mesmo tempo.
Quando a ampulheta de 4 minutos acabar, a de 7 minutos terá exactamente 3 minutos por terminar. Nesse instante, ponha a tarte no forno.
Quando os 3 minutos restantes da ampulheta de 7 acabarem, vire novamente essa ampulheta (a de 7).
Deixe a ampulheta de 7 correr o ciclo completo e retire a tarte assim que terminar.

A tarte terá estado no forno durante 10 minutos exactos.

Quebra-cabeça 3: vinho quente, dois barris de 10 L e garrafas de 5 L e 4 L

Enunciado: Agora tem de distribuir vinho quente que está em dois barris cheios de 10 litros cada. O cozinheiro dá-lhe uma garrafa vazia de 5 litros e outra vazia de 4 litros. Ordena-lhe que, sem desperdiçar uma gota, termine com exactamente 3 litros em cada garrafa. Como o faz?

### Solução Abaixo está uma forma de chegar ao objectivo, registando as quantidades em cada recipiente.
- B1 e B2: os dois barris de 10 L
- g5: garrafa de 5 L
- g4: garrafa de 4 L

Nota: é bem possível que exista uma sequência mais curta; esta é uma que funciona mantendo sempre o vinho dentro de algum recipiente.

Passo	Operação (verter até encher/esvaziar)	B1 (L)	B2 (L)	g5 (L)	g4 (L)
0	Estado inicial	10	10	0	0
1	Encher g4 a partir de B1	6	10	0	4
2	Verter g4 para g5	6	10	4	0
3	Encher g4 a partir de B1	2	10	4	4
4	Verter g4 para g5 (até g5 encher)	2	10	5	3
5	Verter g5 para B1	7	10	0	3
6	Encher g5 a partir de B2	7	5	5	3
7	Verter g5 para B1 (até B1 encher)	10	5	2	3
8	Verter g5 para g4 (até g4 encher)	10	5	1	4
9	Verter g4 para B2	10	9	1	0
10	Encher g4 a partir de B1	6	9	1	4
11	Verter g4 para B2 (até B2 encher)	6	10	1	3

A partir daqui, repete-se o mesmo “truque” de completar e transferir até ficar com 3 litros também na garrafa de 5 L. O ponto essencial é usar a diferença de capacidades (5 e 4) para “fabricar” o volume 3 sem perdas.

Quebra-cabeça 4: 100 dias de Natal e a soma sem somar um a um

Enunciado: Imagine que há 100 dias de Natal. No dia n, recebe n euros: começa com 1 € no primeiro dia e termina com 100 € no centésimo dia. Consegue calcular o total recebido sem estar a somar os 100 valores um por um?

### Solução Diz-se que Carl Friedrich Gauss resolveu assim quando lhe colocaram uma pergunta deste tipo:

Seja s a soma dos números de 1 a 100:

s = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

Podemos escrever a mesma soma ao contrário:

s = 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

Somando as duas expressões termo a termo, obtemos 2s do lado esquerdo. Do lado direito, cada par dá sempre 101 (1+100, 2+99, etc.). Há 100 termos, logo:

2s = 100 × 101 = 10 100

Portanto:

s = 10 100 / 2 = 5 050

No total, recebe 5 050 €.

Quebra-cabeça 5: uma sequência natalícia (9, 11, 10, 12, 9, 5, …)

Enunciado: Eis uma sequência com “espírito natalício”. Os seis primeiros termos são: 9, 11, 10, 12, 9, 5, …
(Nota: em algumas versões, o quinto número aparece como 11.) Qual é o próximo número?

### Solução A ideia é que a sequência representa o número de letras na designação de cada prenda da canção dos 12 dias de Natal, contada na formulação inglesa tradicional. Assim, o próximo valor é 5, correspondente aos cisnes.

Lista completa (com os valores dados no enunciado):

perdiz (9)
rolas/rolinhas (11)
galinhas francesas (10)
pássaros a cantar/chamar (12)
anéis de ouro (9; ou 11 em versões em que a palavra equivalente a “dourados” tem mais letras)
gansos (5)
cisnes (5)
criadas (5)
damas/senhoras (6)
lordes (5)
flautistas (6)
tamborileiros (8)

Nota: pode parecer “pouco matemático”, mas a matemática (e, de forma mais ampla, o pensamento crítico e criativo) depende muitas vezes de detectar padrões que, ao início, não são óbvios. Um exemplo histórico é que, durante a Segunda Guerra Mundial, parte do recrutamento para a sede de decifração de códigos em Bletchley Park valorizava competências de raciocínio lateral - incluindo a capacidade de resolver palavras cruzadas enigmáticas.

Quebra-cabeça 6: 100 frases, uma só verdadeira

Enunciado: Qual das seguintes 100 afirmações é a única verdadeira?

Exactamente uma afirmação desta lista é falsa.
Exactamente duas afirmações desta lista são falsas.
… e assim sucessivamente até:
Exactamente 99 afirmações desta lista são falsas.
Exactamente 100 afirmações desta lista são falsas.

### Solução A única verdadeira é a 99.ª afirmação.

Há 100 frases. A frase na posição n diz que existem n frases falsas. Isso só pode ser compatível com a condição “há exactamente uma frase verdadeira” quando n = 99 (ou seja, 99 falsas e 1 verdadeira).

Quebra-cabeça 7: chapéus vermelhos e verdes (Arthur e Bob)

Enunciado: Você e os seus amigos Arthur e Bob usam chapéus de Natal, vermelhos ou verdes. Ninguém vê o próprio chapéu, mas cada um vê os outros dois. Os chapéus de Arthur e Bob são ambos vermelhos.

Dizem-vos ainda que pelo menos um chapéu é vermelho. Arthur afirma: “Não sei de que cor é o meu chapéu.” Depois Bob diz: “Também não sei de que cor é o meu chapéu.” Assumindo que ambos raciocinam sem falhas, consegue deduzir a cor do seu chapéu?

### Solução O seu chapéu tem de ser vermelho.

Se o seu chapéu fosse verde, então Arthur veria um verde (o seu) e um vermelho (o de Bob). Nesse cenário, quando Arthur admitisse que não sabe a sua cor, Bob poderia concluir imediatamente que o chapéu dele era vermelho. Mas Bob não consegue concluir isso (diz que não sabe), logo Bob tem de estar a ver dois chapéus vermelhos. Portanto, o seu é vermelho.

Quebra-cabeça 8: três caixas com etiquetas trocadas

Enunciado: Há três caixas debaixo da árvore.
- Uma tem duas prendas pequenas.
- Outra tem duas peças de carvão.
- A terceira tem uma prenda pequena e uma peça de carvão.

Cada caixa tem uma etiqueta a indicar o conteúdo - mas as etiquetas foram trocadas, e todas as caixas estão neste momento com a etiqueta errada.

Pode tirar um único objecto, de uma única caixa. Que caixa escolhe para, a partir daí, conseguir corrigir as etiquetas de forma que todas fiquem certas?

### Solução A melhor escolha é abrir a caixa cuja etiqueta diz “uma prenda pequena e uma peça de carvão”.

Como todas as etiquetas estão erradas, essa caixa não pode ter um de cada. Logo, ao tirar um objecto dessa caixa, ficará a saber se ela contém: - duas prendas pequenas, ou - duas peças de carvão.

Se, por exemplo, tirar uma prenda e concluir que ali estão duas prendas, então: 1) essa caixa passa a ter a etiqueta “duas prendas pequenas”;
2) a etiqueta “uma prenda e um carvão” terá de ir para a caixa que actualmente diz “duas peças de carvão”;
3) e, por exclusão, a etiqueta “duas peças de carvão” fica na caixa que estava marcada como “duas prendas pequenas”.

Quebra-cabeça 9: sumo de laranja e sumo de maçã (uma invariância)

Enunciado: Na cozinha há uma garrafa de 1 litro de sumo de laranja e outra garrafa de 1 litro de sumo de maçã. O Jack põe uma colher de sopa de sumo de laranja na garrafa de maçã e mexe até ficar homogéneo. Depois a Jill tira uma colher de sopa dessa mistura (da garrafa de maçã) e coloca-a de volta na garrafa de laranja. No fim, há mais sumo de laranja na garrafa de maçã, ou mais sumo de maçã na garrafa de laranja?

### Solução As quantidades “trocadas” são iguais.

É um exemplo elegante de invariância: apesar das transferências e da mistura, cada garrafa continua a ter exactamente 1 litro. Assim, a quantidade de sumo de laranja que acabou na garrafa de maçã substituiu exactamente a mesma quantidade de sumo de maçã que, no processo inverso, acabou por ir parar à garrafa de laranja.

À primeira leitura, este argumento pode parecer pouco “satisfatório”. Mas é precisamente a força da invariância: permite concluir o resultado sem fazer contas.

Quebra-cabeça 10: notas com Pai Natal/Mãe Natal e prenda/rena (lógica condicional)

Enunciado: Na terra natal do Pai Natal, todas as notas têm, num lado, Pai Natal ou Mãe Natal e, no outro, prenda ou rena. Um duende coloca quatro notas sobre a mesa, mostrando (por esta ordem):

text Pai Natal | Mãe Natal | Prenda | Rena

Um duende mais velho diz: “Se uma nota tem o Pai Natal de um lado, então tem uma prenda do outro.” Que notas deve virar para confirmar se o que o duende mais velho disse é verdadeiro?

### Solução Deve virar:

1) a nota que mostra Pai Natal - se do outro lado não estiver prenda, a regra falha;
2) a nota que mostra rena - para confirmar que do outro lado não está Pai Natal (porque, se estivesse, teria de haver prenda do outro lado, o que contradiz o lado “rena”).

É tentador virar a nota “prenda”, mas a frase é do tipo “se Pai Natal, então prenda”, o que não implica “se prenda, então Pai Natal”. Por isso, a nota “prenda” pode ter Pai Natal ou Mãe Natal do outro lado sem afectar a veracidade da regra. O mesmo raciocínio explica por que motivo não interessa virar a nota “Mãe Natal”.

Solução do quebra-cabeça bónus

Enunciado: O Pai Natal viaja de trenó da Gronelândia para o Polo Norte a 48,3 km/h (equivalente a 30 milhas por hora), e regressa imediatamente do Polo Norte para a Gronelândia a 64,4 km/h (equivalente a 40 milhas por hora). Qual é a velocidade média em toda a viagem?

### Solução Este desafio encaixa bem na distinção popularizada pelo psicólogo Daniel Kahneman em Pensar, Depressa e Devagar: o “pensamento rápido” sugere “faça a média” e aponta para 56,4 km/h (a média de 48,3 e 64,4). Parece plausível - mas está errado.

Aqui é preciso o “pensamento lento”, com alguma álgebra. Definimos:

d = distância da Gronelândia ao Polo Norte
t₁ = tempo da ida
t₂ = tempo do regresso

Pela relação velocidade = distância / tempo:

48,3 = d / t₁ ⇒ t₁ = d / 48,3
64,4 = d / t₂ ⇒ t₂ = d / 64,4

A distância total é 2d e o tempo total é t₁ + t₂. Logo, a velocidade média é:

[ v\text{média}=\frac{2d}{t1+t_2}=\frac{2d}{\frac{d}{48,3}+\frac{d}{64,4}} ]

Como d aparece em todos os termos, cancela-se, e fica:

[ v_\text{média}=\frac{2}{\frac{1}{48,3}+\frac{1}{64,4}}\approx 55,2\ \text{km/h} ]

Ou seja, a velocidade média da viagem toda é cerca de 55,2 km/h, e não a média simples das duas velocidades.

Neil Saunders, docente sénior de Matemática, Departamento de Ciências Matemáticas, City St George's, University of London.

Este artigo é republicado de The Conversation ao abrigo de uma licença Creative Commons.